もちろんアクセスの集中に対して、それなりの対策は準備していることと思いますが、つながり難くなることはあるかと思います。
各便に対しての設定枠がどの程度かは不明ですが、対象となる日に幅がありますので、まったく取れないということはないのではと想像しています。

因みに、比較になるかは分かりませんが、ANAで同様の7千円セールを行った際、開始早々はサイトに繋がらない、繋がって入力するも次のページに進まない等の症状は出たものの、人気ありそうな東京発着沖縄離島路線等もまぁまぁ確保することができましたよ。